Das Bild zeigt einen Tiefpaß erster Ordnung aus einem Widerstand und einen Energiespeicher, einem Kondensator. Der Schaltplan und die Simulation erfolgte mit dem kostenlosen Simulationsprogramm Switcher Cad 3 von www.linear.com

Es wird mit dem Programm zunächst eine AC Analyse durchgeführt. An der Spannungsquelle V1 wird eine sinusförmige Wechselspannungsamplitude von 1 Volt eingestellt. Die Frequenz verändert sich von 1 Hertz bis auf 1 MHz. In kleinen Frequenzschritten wird diese nun erhöht und jeweils dafür die Spannungen in der Schaltung berechnet.

die Simulation zeigt nun das Bodediagramm der Ausgangsspannung "output" des Tiefpass. Ein Bodediagramm bezeichnet den Amplitudengang zusammen mit dem Phasengang. Es zeigt wie Amplitude und Phase zusammen mit der Frequenz "gehen". Die durchgezogene Linie ist der Amplitudengang, die gestrichelte Line der Phasengang. Zur besseren Darstellung eines weiten Zahlenbereiches wurde eine doppelt logarythmische Darstellung gewählt, sowohl in der Frequenz- als auch in der Amplitudenachse, die Skala für die Phasenverschiebung ist linear.

Die Simulation zeigt das Zeitsignal der Eingangsspannung in Blau von 1 Volt Amplitude bei der Grenzfrequenz von ca. 3,169 kHz. Dazugehörig die Ausgangsspannung in Grün mit einer Amplitude von etwa 0,707 Volt (-3dB) bei natürlich auch 3,169 kHz. Ein Tiefpass mit streng linearen idealen Widerständen und Kondensatoren fügt keine neuen Frequenzanteile hinzu. Besonders auffallend ist, daß das Ausgangssignal bei Beginn der Simulation nicht sinusförmig einschwingt ! - das ist korrekt so.  Dieses Ausgangssignal ist erst nach etwa 1-2 ms eingeschwungen.

Eine analytische komplexe Rechnung gilt daher nur für eingeschwungene Sinussignale, das ist ganz wichtig und immer zu beachten. Sollen auch die Einschwingvorgänge berechnet werden, können zur Berechnung Differentialgleichungen herangezogen werden oder wie im Beispiel die numerische Berechnung hier mittels Simulationsprogramm.

Für eine komplexe Rechnung ist es sinnvoll die Übertragungsfunktion des Tiefpass für eingeschwungene sinusförmige Signale zu berechnen. Die Übertragungsfunktion ist eine wichtige Gleichung für viele regelungstechnische Systeme, wie aktive und passive Filter oder auch Verstärker. Die Übertragungsfunktion ist das Verhältnis aus Ausgangsgröße zu Eingangsgröße. In diesem Fall hier das Verhältnis Ausgangsspannung Uout zu Eingangsspannung Uin.

Die linke Seite zeigt wie auf Basis der Maschenregel und der Knotenregel die Übertragungsfunktion dieses Netzwerkes Tiefpass erster Ordnung hergeleitet werden kann.

1. Die oberste Zeile ergibt sich aus der einzigen in diesem Netzwerk vorhandenen Kernmasche

2. Die zweite Zeile zeigt die Schaltung hat nur einen Stromknoten, daß bedeuted hier alle Bauelemente befinden sich in Reihenschaltung und werden daher vom gleichen Strom durchflossen

3. Die dritte Zeile beschreibt den komplexen Widerstand Xc des Kondensators, dieser ist umgekehrt proportional zur Kreisfrequenz Omega (2pi) und der Frequenz f, wobei Omega=2pi*f ist. Der Buchstabe kennzeichnet die imaginäre Einheit, j steht hier für die zweite Wurzel aus -1

4. Die vierte Zeile verknüpt den Strom i mit der Größe uout das gleich der Kondensatorspannung ist

5. Die fünfte Zeile ersetzt den unerwünschten Ausdruck Xc

6. Die sechste Zeile verknüpft die Strom mit der Maschengleichung

7. Die siebte Zeile eliminiert den Strom aus dem Gleichungssystem

8. Die achte Zeile ist die vereinfachte siebte

9. Die neunte Zeile ist die gesuchte komplexe Übertragungsfunktion

Mit Hilfe der komplexen Übertragungsfunktion kann nun der Amplitudengang als auch der Phasengang dargestellt werden.

1. die oberste Zeile definiert die imaginäre Einheit j=zweite Wurzel aus -1 und den grafisch dargestellten Frequenzbereich von 1 Hz bis 1 MHz, sowie die Schrittweite 4 Hz.

2. die zweite Zeile definiert die Variable R=50 Ohm und C=1 Mikrofarad

3. die dritte Zeile ist die Gleichung für den Amplitudengang, der Absolutbetrag der komplexen Übertragungsfunktion

4. die vierte Zeile ist die Gleichung für den Phasengang, das Argument (Winkel) der komplexen Übertragungsfunktion, hier gewandelt in die 360 Grad Darstellung mittels 180/pi.

Dem ungeübten Leser sei hier dringend empfohlen sich mit den Grundlagen der komplexen Zahlen zu beschäftigen, Bücher dazu gibt es im Bereich Mathematik und Ingenieurwissenschaften sehr viele. Nach Kenntnis derer ist es angeraten in Fachbücher der Regelungstechnik einzusteigen.

die Ergebnisse sind identisch zur numerischen Simulation, genau gerechnet liegt die Grenzfrequenz bei 3183.1 Hertz. Bei der Grenzfrequenz sinkt die Amplitude am Ausgang auf das 0,7071 fache (1/Wurzel2) und die Phasenverschiebung beträgt exakt -45,000000.... Grad.

Solch eine Differentialgleichung ist noch einfach zu lösen, damit können beliebige Eingangssignale untersucht werden. Lösungswege und Bücher über diese Mathematik existieren ettliche. Allerdings aus praktischer Sicht, ab einer gewissen Ordnung oder wenn noch nichtlineare Terme hinzu kommen, sind sie nicht mehr analytisch lösbar. Selbst die gern zur Hilfe genommene La Place Transformation stößt an ihre Grenzen, sie ist hilfreich beim Berechnen, man wird aber spätestens feststellen bei der Rücktransformation in den Zeitbereich geht einem oft schon wieder die Luft aus.

zeigt die Simulation des Tiefpass zweiter Ordnung, sofort sichtbar die Überhöhung bei ca. 2,2 kHz. Die Spannung steigt hier tatsächlich über die Eingangsspannung an. Die Phasenverschiebung verläuft nun sogar bis minus 180 Grad. Der Amplitudenabfall beträgt nun -40dB/Dekade oder -12dB/Oktave.

Abhängig vom Serienwiderstand R1 bestimmt sich die Güte dieses Serienschwingkreises und damit die Höhe des Überschwingers.

Ein paar Gleichungen passend zu diesem Tiefpass.

• Die Güte ist Maß für die Überhöhung der Ausgangsamplitude am Punkt der Resonanzfrequenz. Die im Diagramm abgelesene Magnitude ca. 11,05 dB das entspricht etwa 3,57fache Überhöhung, das ist fast identisch zur berechneten Güte von 3,53.

• Die Resonanzfrequenz berechnet 2,25 kHz - im Diagramm abgelesen 2,204 kHz.

• Die Bandbreite ist hier definiert als beidseitiger Frequenzbereich um die Erhöhung herum, an deren Flanken die Amplitude bezogen auf das Maximum um -3 dB abgefallen ist.